Logisch Denken: Einführung in die Fuzzy-Logik

Fuzzy-Logik ist eine Erweiterung der gängigen zweiwertigen Logik. In dieser Arbeit können Sie die Grundlagen fuzzylogischen Denkens kennenlernen. Hier erfahren Sie anhand von vielen praktischen Beispielen und graphischen Darstellungen, wie diese faszinierende Art des Denkens funktioniert.

Warum sollte ich mich mit Fuzzy-Logik beschäftigen?

Auf den ersten Blick mag es so erscheinen, als wäre Fuzzy-Logik ein Thema mit denen sich nur verstaubte Universitätsprofessoren beschäftigen sollten. Doch dabei vergessen viele, daß wir in unserem alltäglichen Denken immer eine Form der Logik benutzen, um Entscheidungen zu treffen. In unserer abendländischen Kultur hat sich die zweiwertige Logik in unserem alltäglichen Denken durchgesetzt.

Wir unterscheiden:

  • Gut - Böse
  • Wahr - Falsch
  • Schön - Häßlich
  • Gesund - Krank
    etc.

Damit unterteilen wir die Welt in ein Schwarz-Weiß-Raster - in ein ausschließliches "entweder" - "oder". Dieses Denkmuster ist uns so zur Gewohnheit geworden, daß wir gar nicht mehr nachfragen, ob es mit unserem tatsächlichen Erleben übereinstimmt. Damit reduzieren wir die Welt in zwei Werte und tun so, als gäbe es zwischen diesen Extremen keinen Übergang.

Doch die zweiwertige Logik ist nicht das Ende unserer Denkmöglichkeiten, sondern war nur der erste Schritt hin zu einem systematischen Denken. In der Philosophie ist seit langem bekannt, daß reines zweiwertiges Denken zu unlösbaren Paradoxien führt - sich also letztlich selbst widerlegt. Ein praktisches Beispiel in der Philosophie ist das Münchhausen-Trilemma, welches sich über die Regeln der zweiwertigen Logik zu begründen versucht und letztlich zeigt, daß es keine gültige Beweisführung durch Ableitungen gibt. Grund zur Annahme, daß die Logik - und damit auch die Philosophie - letztlich willkürliche Systeme, ohne Anspruch auf objektive Geltung wären.

Die Fuzzy-Logik stellt für diese Problemstellung zwar keine universelle Lösung dar, zeigt aber, daß wir durch eine Erweiterung unseres logischen Verständnisses Widersprüche auflösen können. Ein Fuzzy-Logiker unterteilt die Welt nicht mehr nur in zwei Extremwerte, sondern denkt ein unendliches Kontinuum zwischen diesen beiden Kontrapunkten. Praktisch wirkt sich das so aus, daß es nicht mehr nur die beiden Extremwerte - Beispiel: Gut (1) und Böse (0) - gibt, sondern zwischen 0 und 1 prinzipiell unendlich viele Zwischenschritte (Graustufen) denkbar sind.

Fuzzylogisch gesehen gäbe es dann nicht mehr nur absolut gute und böse Menschen, sondern ein Mensch wäre zu einem bestimmten Anteil gut bzw. böse. Dies entspricht unserem faktischen Erleben viel mehr, als reine absolute Wertmaßstäbe, die in "ihrer Reinform" sowieso niemals auftauchen werden.

Dies nur als kleine Anregung, wie die Fuzzy-Logik den Blick auf die Welt verändern kann. Ich wünsche Ihnen viele kleine AHA-Effekte beim Studium dieser kleinen Ausarbeitung der Grundlagen!

Einführung in die Fuzzy-Logik

Fuzzy? Logisch!

"Die Dinge des Universums sind nicht wie mit einer Axt voneinander getrennt, das Heiße nicht vom Kalten, das Kalte nicht vom Heißen." (Anaxagoras)

"Unbestimmtheit kann ebenso wenig aus der Welt geschaffen werden wie Reibung in der Mechanik." (Peirce)

Einführung: Kurz zum Aufbau und Ziel dieser Arbeit:

Sie soll Ihnen einen Überblick über Fuzzy-Logik bieten. Ich werde nicht in die allertiefsten Tiefen einsteigen. Es sollen hier nur Grundlagen vermittelt werden. Diese finden Sie in den ersten beiden Kapiteln. Im dritten Teil gehe ich auf Konsequenzen von Fuzzy ein und auf das Denken und Fuzzy.

Die Idee von der Unschärfe

Die scharfe Idee von der Unschärfe

Es war in meinem Geburtsjahr 1965, als Lotfi Zadeh auf die Idee zur Fuzzy-Logik, auf deutsch: "Logik der Unschärfe" kam. Genauer: Es ist eigentlich eine Logik der unscharfen Mengen. Sie beruht auf dem Umstand, daß alle natürlichen Phänomene eine kontinuierliche Abstufungen zulassen.

brilleBeispiele: "Meine Haare sind dunkler als die von Matthias," "....die allertiefsten Tiefen."

Eine "normale" scharfe Logik setzt scharfe Grenzen. Diese führen in vielen Fällen zu absurden Situationen.

Beispiel:
Ein Auto, das 109,9999999 km/h fährt, ist langsam auf der Autobahn und eins, das 110 fährt, schnell. In der Praxis wird man dies weder beobachten, noch macht es einen relevanten Unterschied.

Es existieren auch einige Paradoxien, die diesen Umstand zum Ausdruck bringen. Das Problem des Sandhaufens ist ein solches. Vor Ihnen befindet sich ein Haufen mit Sand. Sie nehmen ein Sandkorn weg. Es handelt sich immer noch um einen Haufen. Sie nehmen ein zweites Sandkorn weg, der Haufen bleibt... Irgendwann nehmen Sie das letzte Sandkorn weg. Wann hat der Haufen aufgehört ein Haufen zu sein? Eine Logik, wie z. B. eine zweiwertige die nur in Wahr oder Falsch unterscheidet, würde das Problem einfach mit einer Definition lösen. 999.999 Sandkörner = kein Haufen, 1.000.000 Sandkörner= Haufen. Die Fuzzy-Logik hingegen bildet den Übergang von Wahr zu Falsch als Übergang von 0 zu 1 ab. Es ist zu 0,4 wahr, daß es ein Haufen ist, etc.

Damit wird ein Unterschied zu Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Eine Wahrscheinlichkeit sagt aus, wie sicher etwas wahr oder falsch ist. Fuzzy- Logik sagt aus wo ein Phänomen zwischen den zwei Extremen Wahr oder Falsch eingeordnet werden kann. Auch darf dies nicht mit Mehrdeutigkeit verwechselt werden. Mehrdeutigkeiten lassen sich auflösen durch ein mehr an Information. Unschärfe läßt sich nicht auflösen.

Beispiel:
Daß ein Würfel eine sechs zeigt, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 6 gegeben. Es ist aber nicht 0,152 Wahr, daß eine Sechs oben liegt. Liegt die Sechs oben, so ist es 1 wahr, daß sie oben liegt - liegt sie unten, so ist es 0 wahr, also falsch. Wäre es 0,152 wahr, daß eine sechs erscheint, so würde dies in der Fuzzy-Logik folgendes bedeuten: Der Würfel steht in einem recht ominösen Winkel auf einer Kante.

Mengenlehre

2. Mengenlehre

Unser Denken geschieht in Klassen. Unsere Sprache besteht im Wesentlichen darin, bestimmte Phänomene einander zuzuordnen und mit einem Namen zu versehen. Phänomene werden verallgemeinert und vereinfacht. Erst dadurch ist es uns möglich, miteinander sprechen zu können. Erst dadurch ist es uns möglich, daß wir überhaupt denken können. Auch Einzelnamen, z.B. Uwe, vereinigen verschiedene Merkmale, z. B. Größe, Haarfarbe, Verhaltensgewohnheiten, unter einem Etikett: "Uwe".

Dieser Umstand der Klassenbildung wurde von Cantor in der Mengenlehre formalisiert. Entsprechend wird von ihm eine Menge definiert als: Sammlung bestimmter, unterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Verstandes. Cantors Mengen sind scharf definiert und teilen so die Welt in WAHR oder FALSCH.

Wahre und falsche Aussagen bilden in diesem Rahmen zusammen eine Universal- oder moderner Grundmenge. Auch lassen sich mit Mengen verschiedene Operationen, also Rechnungen ausführen. So gibt es z.B. eine Menge und eine Komplementärmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, etc.. Mengen können auch Teilmengen enthalten oder leer sein.

Beispiel:

Es gibt eine Grundmenge aller Kraftfahrzeugfahrer. Aus ihr läßt sich die Menge bilden (A) und die Komplementärmenge aller anderen Menschen, die kein Kraftfahrzeug führen (nicht A). Die Menge aller Radfahrer (B) könnte so beispielsweise eine Schnittmenge (AB) mit der Menge aller Kraftfahrzeugfahrer ergeben, da ein Teil der Menschen, die Fahrrad fahren zugleich auch ein Kraftfahrzeug führen. Somit gibt es Radfahrer, die gleichzeitig auch Autofahrer sind. Eine Vereinigungsmenge wären z.B. alle Menschen, die ein mechanisches Fortbewegungsmittel nutzen (alle A und B). Eine Teilmenge der Kraftfahrer wären z.B. die weiblichen Kraftfahrer.

13.04.2017 © seit 08.2005 Tom Nolte

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