Fuzzy-Logik – eine Einführung | Logisch Denken

Fuzzy-Logik ist eine Erweiterung der gängigen zweiwertigen Logik. In dieser Arbeit können Sie die Grundlagen fuzzylogischen Denkens kennenlernen. Hier erfahren Sie anhand von vielen praktischen Beispielen und graphischen Darstellungen, wie diese faszinierende Art des Denkens funktioniert.

Warum sollte ich mich mit Fuzzy-Logik beschäftigen?

Auf den ersten Blick mag es so erscheinen, als wäre Fuzzy-Logik ein Thema mit denen sich nur verstaubte Universitätsprofessoren beschäftigen sollten. Doch dabei vergessen viele, dass wir in unserem alltäglichen Denken immer eine Form der Logik benutzen, um Entscheidungen zu treffen. In unserer abendländischen Kultur hat sich die zweiwertige Logik in unserem alltäglichen Denken durchgesetzt.

Wir unterscheiden:

  • Gut – Böse
  • Wahr – Falsch
  • Schön – Hässlich
  • Gesund – Krank
    etc.

Damit unterteilen wir die Welt in ein Schwarz-Weiß-Raster – in ein ausschließliches „entweder“ – „oder“. Dieses Denkmuster ist uns so zur Gewohnheit geworden, dass wir gar nicht mehr nachfragen, ob es mit unserem tatsächlichen Erleben übereinstimmt. Damit reduzieren wir die Welt in zwei Werte und tun so, als gäbe es zwischen diesen Extremen keinen Übergang.

Doch die zweiwertige Logik ist nicht das Ende unserer Denkmöglichkeiten, sondern war nur der erste Schritt hin zu einem systematischen Denken. In der Philosophie ist seit langem bekannt, dass reines zweiwertiges Denken zu unlösbaren Paradoxien führt – sich also letztlich selbst widerlegt. Ein praktisches Beispiel in der Philosophie ist das Münchhausen-Trilemma, welches sich über die Regeln der zweiwertigen Logik zu begründen versucht und letztlich zeigt, dass es keine gültige Beweisführung durch Ableitungen gibt. Grund zur Annahme, dass die Logik – und damit auch die Philosophie – letztlich willkürliche Systeme, ohne Anspruch auf objektive Geltung wären.

Einführung in die Fuzzy-Logik

Die Fuzzy-Logik stellt für diese Problemstellung zwar keine universelle Lösung dar, zeigt aber, dass wir durch eine Erweiterung unseres logischen Verständnisses Widersprüche auflösen können. Ein Fuzzy-Logiker unterteilt die Welt nicht mehr nur in zwei Extremwerte, sondern denkt ein unendliches Kontinuum zwischen diesen beiden Kontrapunkten. Praktisch wirkt sich das so aus, dass es nicht mehr nur die beiden Extremwerte – Beispiel: Gut (1) und Böse (0) – gibt, sondern zwischen 0 und 1 prinzipiell unendlich viele Zwischenschritte (Graustufen) denkbar sind.

Fuzzylogisch gesehen gäbe es dann nicht mehr nur absolut gute und böse Menschen, sondern ein Mensch wäre zu einem bestimmten Anteil gut bzw. böse. Dies entspricht unserem faktischen Erleben viel mehr, als reine absolute Wertmaßstäbe, die in „ihrer Reinform“ sowieso niemals auftauchen werden.

Dies nur als kleine Anregung, wie die Fuzzy-Logik den Blick auf die Welt verändern kann. Ich wünsche Ihnen viele kleine AHA-Effekte beim Studium dieser kleinen Ausarbeitung der Grundlagen!

Einführung in die Fuzzy-Logik

Fuzzy? Logisch!

„Die Dinge des Universums sind nicht wie mit einer Axt voneinander getrennt, das Heiße nicht vom Kalten, das Kalte nicht vom Heißen.“ (Anaxagoras)

„Unbestimmtheit kann ebenso wenig aus der Welt geschaffen werden wie Reibung in der Mechanik.“ (Peirce)

Einführung: Kurz zum Aufbau und Ziel dieser Arbeit:

Sie soll Ihnen einen Überblick über Fuzzy-Logik bieten. Ich werde nicht in die allertiefsten Tiefen einsteigen. Es sollen hier nur Grundlagen vermittelt werden. Diese finden Sie in den ersten beiden Kapiteln. Im dritten Teil gehe ich auf Konsequenzen von Fuzzy ein und auf das Denken und Fuzzy.

Die scharfe Idee von der Unschärfe

Es war in meinem Geburtsjahr 1965, als Lotfi Zadeh auf die Idee zur Fuzzy-Logik, auf deutsch: „Logik der Unschärfe“ kam. Genauer: Es ist eigentlich eine Logik der unscharfen Mengen. Sie beruht auf dem Umstand, dass alle natürlichen Phänomene eine kontinuierliche Abstufungen zulassen.

Beispiele: „Meine Haare sind dunkler als die von Matthias,“ „….die allertiefsten Tiefen.“

Eine „normale“ scharfe Logik setzt scharfe Grenzen. Diese führen in vielen Fällen zu absurden Situationen.

Beispiel: Ein Auto, das 109,9999999 km/h fährt, ist langsam auf der Autobahn und eins, das 110 fährt, schnell. In der Praxis wird man dies weder beobachten, noch macht es einen relevanten Unterschied.

Es existieren auch einige Paradoxien, die diesen Umstand zum Ausdruck bringen. Das Problem des Sandhaufens ist ein solches. Vor Ihnen befindet sich ein Haufen mit Sand. Sie nehmen ein Sandkorn weg. Es handelt sich immer noch um einen Haufen. Sie nehmen ein zweites Sandkorn weg, der Haufen bleibt… Irgendwann nehmen Sie das letzte Sandkorn weg. Wann hat der Haufen aufgehört ein Haufen zu sein? Eine Logik, wie z. B. eine zweiwertige die nur in Wahr oder Falsch unterscheidet, würde das Problem einfach mit einer Definition lösen. 999.999 Sandkörner = kein Haufen, 1.000.000 Sandkörner= Haufen. Die Fuzzy-Logik hingegen bildet den Übergang von Wahr zu Falsch als Übergang von 0 zu 1 ab. Es ist zu 0,4 wahr, dass es ein Haufen ist, etc.

Damit wird ein Unterschied zu Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Eine Wahrscheinlichkeit sagt aus, wie sicher etwas wahr oder falsch ist. Fuzzy- Logik sagt aus wo ein Phänomen zwischen den zwei Extremen Wahr oder Falsch eingeordnet werden kann. Auch darf dies nicht mit Mehrdeutigkeit verwechselt werden. Mehrdeutigkeiten lassen sich auflösen durch ein mehr an Information. Unschärfe lässt sich nicht auflösen.

Beispiel:
Dass ein Würfel eine sechs zeigt, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 6 gegeben. Es ist aber nicht 0,152 Wahr, dass eine Sechs oben liegt. Liegt die Sechs oben, so ist es 1 wahr, dass sie oben liegt – liegt sie unten, so ist es 0 wahr, also falsch. Wäre es 0,152 wahr, dass eine sechs erscheint, so würde dies in der Fuzzy-Logik folgendes bedeuten: Der Würfel steht in einem recht ominösen Winkel auf einer Kante.

Mengenlehre

Unser Denken geschieht in Klassen. Unsere Sprache besteht im Wesentlichen darin, bestimmte Phänomene einander zuzuordnen und mit einem Namen zu versehen. Phänomene werden verallgemeinert und vereinfacht. Erst dadurch ist es uns möglich, miteinander sprechen zu können. Erst dadurch ist es uns möglich, dass wir überhaupt denken können. Auch Einzelnamen, z.B. Uwe, vereinigen verschiedene Merkmale, z. B. Größe, Haarfarbe, Verhaltensgewohnheiten, unter einem Etikett: „Uwe“.

Dieser Umstand der Klassenbildung wurde von Cantor in der Mengenlehre formalisiert. Entsprechend wird von ihm eine Menge definiert als: Sammlung bestimmter, unterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Verstandes. Cantors Mengen sind scharf definiert und teilen so die Welt in WAHR oder FALSCH.

Wahre und falsche Aussagen bilden in diesem Rahmen zusammen eine Universal- oder moderner Grundmenge. Auch lassen sich mit Mengen verschiedene Operationen, also Rechnungen ausführen. So gibt es z.B. eine Menge und eine Komplementärmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, etc.. Mengen können auch Teilmengen enthalten oder leer sein.

Beispiel: Es gibt eine Grundmenge aller Kraftfahrzeugfahrer. Aus ihr lässt sich die Menge bilden (A) und die Komplementärmenge aller anderen Menschen, die kein Kraftfahrzeug führen (nicht A). Die Menge aller Radfahrer (B) könnte so beispielsweise eine Schnittmenge (AB) mit der Menge aller Kraftfahrzeugfahrer ergeben, da ein Teil der Menschen, die Fahrrad fahren zugleich auch ein Kraftfahrzeug führen. Somit gibt es Radfahrer, die gleichzeitig auch Autofahrer sind. Eine Vereinigungsmenge wären z.B. alle Menschen, die ein mechanisches Fortbewegungsmittel nutzen (alle A und B). Eine Teilmenge der Kraftfahrer wären z.B. die weiblichen Kraftfahrer.

Verschiedene Logik-Systeme

Wie oben schon erwähnt, unterscheidet sich Fuzzy-Logik von der althergebrachten zweiwertigen Logik enorm. Wie kam man nun von einer zweiwertigen Logik die nur zwischen 0 (Wahr) und 1 (Falsch) unterscheidet zu einer Logik mit abgestuften Wahrheitswerten, zwischen 0 und 1 ?

Die Idee dazu wurde von Peirce dargelegt, denn alles was es gibt existiert in einem Kontinuum. Yukasiewics veröffentlichte dann 1920 einen Artikel, wo er eine dreiwertige Logik vorstellte. War diese Bresche einmal geschlagen, so stand damit einer Logik mit prinzipiell unendlich vielen Wahrheitswerten nichts mehr im Wege.

In der zweiwertigen Logik wird ein Gegensatzpaar durch die Operation der Negation gebildet: Eine Aussage ist dann wahr, wenn die Negation falsch ist und umgekehrt.

Aussage
Negation
1
0
0
1

Yukasiewics ergänzte diese Tabelle um einen dritten Wert den er mit möglich übersetzte. Dieser Wert entspricht dann einem Teilwiderspruch. Eine halbvolle Flasche ist eben auch halb leer.

Aussage
Negation
1
0
½
½
0
1

Damit stand einer vielwertigen Logik Tür und Tor offen, denn diese beiden Logiken haben immer noch einen entscheidenden Nachteil. Sie stellen nur Fragmente der Wirklichkeit dar. Eine gleitende Skala wie in der Fuzzy-Logik bringt hier größere Präzision.

Beispiel: Wer gehört zu großen Schülern der Klasse 10a? Jemand der eine zweiwertige oder dreiwertige Logik vertritt, würde erst einmal „groß“ definieren z.B. als 182 cm. Anschließend könnte er sagen, alles was darüber liegt ist groß, alles darunter klein. Der Dreiwertler würde ergänzen: und was genau auf diesem Punkt liegt ist beides. Wie geht nun jemand mit einer Fuzzy-Logik an diese Aufgabe? Er würde einen Bezugsrahmen setzen. z.B. 1 entspricht dem längsten Schüler und 0 dem kleinsten Schüler. Für die Antworten im Vergleich siehe Tabelle.

Person

zweiwertige L.
dreiwertige L.
unscharfe L.

Alex 196cm

1
1
1

Tommy 182cm

1
½
0,9

Jörg 175cm

0
0
0,8

Knut 178cm

0
0
0,85

Toni 162cm

0
0
0,7

Wie sähe eine Negation dieser Tabelle aus?

Person

zweiwertige L.
dreiwertige L.
unscharfe L.

Alex 196cm

0
0
0

Tommy 182cm

0
½
0,1

Jörg 175cm

1
1
0,2

Knut 178cm

1
1
0,15

Toni 162cm

1
1
0,3

Hier sei noch darauf hingewiesen, dass es auch Mathematiker gab die versuchten den Gedanken einer zweiwertigen Logik mit einem Kontinuum so in Übereinstimmung zu bringen, dass sie diskrete Kontinuums annahmen. D.h. ein Kontinuum soll demnach aus feinsten Abstufungen bestehen, die so klein sein können, dass sie nicht auffallen und deshalb als kontinuierliche Übergänge erscheinen. Diesen Gedanken können wir aber verwerfen, da dies eigentlich nur eine Fürsprache für ein genaueres Beobachten ist, aber kein Einwand gegen ein Kontinuum.

Mengen in der Fuzzy-Logik

„Eine wissenschaftliche Wahrheit triumphiert nicht, weil sie ihre Gegner überzeugt und sie Licht sehen lässt, sondern eher deshalb, weil ihre Gegner schließlich aussterben und eine Generation heranwächst die mit ihr vertraut wird.“ (Max Planck)

Zusammenführung der bisherigen Ideen

In den ersten Kapiteln habe ich ein paar grundlegende Überlegungen zu Fuzzy-Logik dargestellt. Nun können wir die Idee der Mengenlehre und die Idee einer Logik mit gleitenden Wahrheitswerten zusammenführen. Wir kommen so zur eigentlichen Fuzzy-Logik, die eine Theorie der unscharfen Mengen ist. Ein Schlüsselbegriff ist die abgestufte Zugehörigkeit. Er besagt, dass Elemente einer Menge teilweise an dieser Menge partizipieren und teilweise nicht. Knut gehört also mit 0,8 zu der Menge der großen Schüler und zu 0,2 gehört er zu der Menge der nicht großen Schüler. Logisch lässt sich hier auch von Teilwidersprüchen sprechen.

Praktisch wirkt sich dies auf Mengen folgendermaßen aus:

Leere Menge => Eine unscharfe Menge ist dann leer, wenn alle denkbaren Elemente für diese Menge den Zugehörigkeitsgrad 0 haben.

Beispiel: Die Menge der auf den Kopf durch die Schule hüpfenden Schüler ist eine leere Menge.

Komplementärmenge => Ist die Negation der Elemente und ihrer Zugehörigkeitsgrade die zur Menge gehören.

Beispiel: Knut gehört zu 0,8 zur Menge der großen Schüler und zu 0,2 zur Menge der kleinen Schüler.

Teilmenge => Jedes Element muss der Teilmenge in einem niedrigeren Grad angehören als der größeren Menge.

Beispiel:

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni

Große Schüler

1
0,9
0,8
0,85
0,7

sehr große Schüler

1
0,8
0,7
0,75
0,6

Schnittmenge => Bei einer Schnittmenge von zwei unscharfen Mengen wird dem Element der niedrigere Zugehörigkeitsgrad zugewiesen.

Beispiel:

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni

Große Schüler

1
0,9
0,8
0,85
0,7

Schüler die Currywurst mögen

0,8
1
0,3
0,5
0,9

Schnittmenge

0,8
0,9
0,3
0,5
0,7

Bei den Schnittmengen kann es zu einem Problem kommen, wenn man nicht gut aufpasst und die Perspektive bewahrt. Der Trugschluss dem man unterliegen kann nennt sich Verbindungstrugschluss. Wir nehmen z.B. eine Tomate und schneiden sie in Scheiben. Nun lässt sich eine Schnittmenge von scheibenförmigen Dingen und Tomaten bilden, um eine Tomatenscheibe auszudrücken. Für beide Mengen ist dies aber ein sehr untypischer Vertreter obwohl es für Tomatenscheiben ein absolut typischer Vertreter ist und somit einen viel höheren Zuordnungswert verdient hätte als der Durchschnitt ergibt. Denkt man so, so ist man dem Verbindungstrugschluss aufgesessen, denn man hat die Perspektive verschoben und betrachtet sozusagen eingeengt – Tomatenscheiben als unscharfe Menge.

Vereinigungsmenge => Bei einer Vereinigungsmenge von zwei unscharfen Mengen wird dem Element der höhere Zugehörigkeitsgrad zugewiesen.

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni
Große Schüler
1
0,9
0,8
0,85
0,7
Schüler die Currywurst mögen
0,8
1
0,3
0,5
0,9
Vereinigungs-menge
1
1
0,8
0,85
0,9

Als Ergänzung sei hier noch erwähnt, dass Fuzzy-Logik drei ungewöhnliche Merkmale aufweist:

  • Erstens sind die unscharfen Wahrheitswerte Wörter und nicht Zahlen,
  • zweitens sind unscharfe Wahrheitstafeln ungenau und
  • drittens sind die logischen Schlussregeln Annäherungen und nicht exakt.

Eingrenzung für unscharfe Mengen

Eingrenzungen sind Begriffe, die unscharfe Mengen modifizieren. Diese gibt es in verschiedenen Formen:

Allgemeine Modifikatoren sehr
ziemlich
äußerst
mehr oder minder
usw. …
Modifikatoren der Wahrheitswerte ziemlich wahr
größtenteils falsch
usw. …
Modifikatoren der Wahrscheinlichkeit wahrscheinlich
nicht sehr wahrscheinlich
unwahrscheinlich
usw. …
Quantifikatoren die meisten
wenige
einige
usw….
Möglichkeiten durchaus möglich
fast unmöglich
usw. …

Mit diesen Eingrenzungen können Operationen vollzogen werden und sie dienen dazu Kontinua in unscharfe Blöcke zu zerlegen die sich überlappen.

Beispiel: Eine Skala, auf der die Körperkraft von Personen abgebildet wird, mit den Unterteilungen: kraftlos, schwach, durchschnittlich, halbstark. Graphisch dargestellt sieht das aus wie sich überlagernde Glocken.

Zadeh entwickelte auch ein Äquivalent zum zweiwertigen Aussagenkalkül. Dieses besteht in einer unscharfen, formalen Sprache mit der Bezeichnung PRUF.

Theorie der Möglichkeit

Eine Möglichkeit beschreibt den Grad der Mühelosigkeit mit dem ein Ereignis stattfinden könnte. Dies ist nicht zu verwechseln mit Wahrscheinlichkeit. Möglichkeit besagt ob ein Ereignis stattfinden kann, Wahrscheinlichkeit ob es stattfinden wird.

Beispiel: Wieviel gekochte Eier isst Joe zum Frühstück?

Eier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Möglichkeit
1
1
1
1
0,9
0,6
0,5
0,3
0,1
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,8
0
0
0
0
0
0
0

Syllogismen in Fuzzy

Eine Möglichkeit Fuzzy-Logik umzusetzen, besteht darin unscharfe Syllogismen zu entwickeln.

Beispiel:

Prämisse 1 (p1) Die meisten Schüler lerne gerne.

Prämisse 2 (p2) Sven ist ein Schüler.

Konklusion (k) Wahrscheinlich lernt Sven gerne.

Unscharfe Maßtheorie

Die unscharfe Maßtheorie berechnet inwieweit die Evidenz eine Tatsache beweist. Im Unterschied zur Wahrscheinlichkeitstheorie addieren sich die verteilten Werte nicht zu eins auf.

Beispiel: Nehmen wir an, jemand kennt Petra nicht genau. Nun soll die Person anhand von unzureichenden Infos herausfinden welches ihr Lieblingsessen ist. Hierzu mag die Person einige Daten wie tomatig, nudelig und käsig haben. Sie kann dabei z.B. auf die Gerichte Pizza, Lasagne, Gnocci oder Spaghetti kommen. Den Gerichten lässt sich dann ein unscharfes Maß zuordnen. Pizza 0,2, Lasagne 0,35, Spaghetti 0,6 und Gnocci 0,8. Damit ist dann zum Ausdruck gebracht, inwieweit die Evidenzen für eines dieser Gerichte sprechen.

Arten der Unschärfe

Es sei noch erwähnt, das es mindestens vier grundlegende Arten von Unschärfe gibt:

  • Nicht-Spezifität,
  • Unschärfe,
  • Dissonanz
  • Verwirrung.

Nicht-Spezifität beschreibt eine Mehrdeutigkeit in der Beziehung zwischen einer Aussage und den möglichen Bedeutungen. Es fehlen Informationen „Alles easy!“

Hiermit befasst sich die scharfe Mengentheorie, die Theorie der Möglichkeiten und die Unschärfetheorie.

Unschärfe bezieht sich auf den Grad der Zugehörigkeit von etwas zu etwas anderem. „Wie vogelhaft ist ein Schnabeltier?“

Dies wird von der Unschärfetheorie behandelt.

Dissonanz bezieht sich darauf, dass aus genügend Informationen sich ausschließende Schlüsse gezogen werden können. Eine Katze miaut. Sie miaut immer wenn sie Futter haben will oder gestreichelt werden möchte. Dummerweise miaut sie immer in der gleichen Weise.

Dies ist ein Fall für die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Verwirrung geht über die Dissonanz hinaus. Es ist nicht nur nicht klar welcher Schluss der richtige ist, sondern auch die Evidenzen für den Schluss sind unklar. („Habe ich mir das Miauen nur eingebildet? War es vielleicht die Nachbarkatze?“)

Dies wird auch von der Theorie der Möglichkeiten erfasst.

Teilmengenrelation

Kosko lenkte die Aufmerksamkeit von der Frage, inwiefern ein Element zu welchem Grad einer Menge zugehörig ist, zu der wichtigen Frage, inwiefern eine Menge zu einer anderen Menge gehört. Demnach lassen sich die Elemente einer Menge auch als unscharfe Teilmenge auffassen. Hat man diesen Schritt getan, so lässt sich per Prozentrechnung ausrechnen wieweit eine Menge Teil einer anderen Menge ist.

Beispiel:

  Tom Pet Harry Uwe Sven Brini Zusammen
Programmierer 0,4 0,6 0,3 0,0 0,9 0,5 2,7
Spielefreaks 0,6 0,4 0,7 0,2 0,6 0,7 3,2
Beides 0,4 0,4 0,3 0,0 0,6 0,5 2,2

Inwieweit sind nun die programmierenden Spielfreaks Teilmenge der Programmierer? Zu 0,82 sind sie Teilmenge der Programmierer!

Auf diese Weise lässt sich auch beweisen, dass sich die Wahrscheinlichkeitstheorie aus der Unschärfetheorie ergibt und sie somit lediglich einen Spezialfall von Unschärfe darstellt.

Darstellung einer Teilmengenrelation

Hier lässt sich ein Gebilde heranziehen, das unter dem Namen Hyperkubus bekannt ist. Ein Hyperkubus weist nicht wie ein normaler Kubus 3 Dimensionen auf, sondern ist n – dimensional. Will man Teilmengen von Mengen in diesem Kubus plazieren so wird für jede der Ursprungsmengen eine Dimension hinzugefügt. Die angenommenen Teilmengen werden dann mit einem Punkt innerhalb des Hyperkubus abgebildet. Die Extrempunkte der Skalen geben die leere Menge (0) und die vollständig erfüllte Menge (1) wieder. Siehe hierzu die Grafik. Daran lässt sich auch sehr schnell sehen, ob etwas eine Teilmenge ist oder nicht. Das gleiche gilt für Schnitt- und Vereinigungsmengen.

Mit Hilfe des Hyperkubus lässt sich so jede beliebige Menge als ein Punkt darstellen. Hier sei noch angemerkt, dass sich auch die Informationstheorie von Shanon mit dem Hyperkubus abbilden lässt. Die größte Menge an Information würde sich dabei genau am Mittelpunkt des Kubus befinden.

Wahrscheinlichkeit

Hier möchte ich noch ein Wort über die Wahrscheinlichkeitstheorie verlieren, genauer: über die zwei Schulen der Wahrscheinlichkeitstheorie:

  • die objektive Wahrscheinlichkeitstheorie und
  • die bayesianische Wahrscheinlichkeitstheorie.

Diese beiden Schulen unterscheiden sich grundlegend voneinander. Die objektive Wahrscheinlichkeit geht von der Ursache auf die Wirkung. Man wirft einen Würfel (Ursache) und es besteht die Wahrscheinlichkeit von 1:6 dass eine zwei kommt (Wirkung).

Die Bayesianische Schule schlussfolgert von der Wirkung auf die Ursache. Alle sechs Zahlen kamen gleichmäßig verteilt, folglich befindet sich auf jeder Seite des Würfels eine andere Zahl. Sie gehen sogar soweit zu sagen, dass man vor dem ersten Wurf, wenn noch nichts von der Verteilung der Zahlen bekannt ist, von einer Gleichverteilung ausgehen müsse. Sie lassen im Unterschied zu den Objektivisten auch subjektive Schätzungen zu. Durch diesen Subjektivismus gehen sie allerdings auf die Erwartungshaltung von jemanden ein. Sie gehen noch weiter: Wahrscheinlichkeit als subjektives Phänomen aufzufassen.

Anwendungen der Fuzzy-Logik

„Wenn die Komplexität zunimmt, dann müssen wir etwas aufgeben und dies ist die Gewissheit“ (Klir)

„Das Nichtwissen wissen ist das Höchste. Nicht wissen, was Wissen ist, ist ein Leiden“ (Tao-te-king)

Fuzzy und die Sache mit dem Denken

Nun habe ich oben schon erwähnt, das Fuzzy-Logik die Welt genauer abbildet als eine zweiwertige Logik. Denn die Welt besteht nicht aus diskreten Zuständen sondern ist ein Kontinuum. Wie sieht das aber nun mit unserem Denken aus? Hilft uns hier Fuzzy weiter?

Diese Frage lässt sich entschieden bejahen. Der Mensch denkt Fuzzy. Das heißt nicht, dass er undifferenziert denkt. Jeder Mensch verwendet in seinem Denken Kategorien. Ich schreibe z. B. das Wort „Pinsel“. Wenn Sie es lesen, werden Sie es verstehen. Aber wieso? Mein Bild zu „Pinsel“ ist höchstwahrscheinlich ein ganz anderes als Ihres. Trotzdem verstehen wir uns. Dies ist ein Ergebnis der Unschärfe. Wir haben eben kein völlig exaktes Bild von „Pinsel“ im Kopf, sondern ein unscharfes. Und mein Bild vom „Pinsel“ ist Ihrem Bild von „Pinsel“ ähnlich und genau das ist Unschärfe und lässt sich fuzzylogisch abbilden. Das selbe passiert wenn wir jemanden aus 50m Entfernung erkennen auch wenn wir ihn nur schwammig sehen.

Diese Fähigkeit etwas als ähnlich zu erkennen bildet die Grundlage für jegliches lernen und antizipieren. Besäßen wir diese Fähigkeit nicht, würde die Welt um uns herum nur aus Einzelobjekten bestehen, die wir immer neu kennenlernen müssten und das Augenblick für Augenblick immer neu.

Entwertet das nun die zweiwertige Logik? Mitnichten. Sie ist einfach ein Spezialfall in der Fuzzy-Logik. Sie stellt die Extreme dar. Auch in Alltagssituationen, wo es auf Geschwindigkeit ankommt, brauchen wir die Fähigkeit sagen zu können etwas ist oder ist nicht. An einer solchen Stelle ist die zweiwertige Logik in ihrer Effizienz ungeschlagen.

Denkweisen des Menschen

Wie schon erwähnt, denkt der Menschen in Kategorien und ordnet ihnen einzelne Gegenstände zu. Autos gehören zu Fahrzeugen, Tiger zu Tieren usw. In einem Test sollte eine Auswahl aus jeder Kategorie nach ihrem wesentlichen Kennzeichen für die entsprechende Kategorie bewertet werden. Dabei stellte sich heraus, dass niemand ein Problem mit dieser Fragestellung hatte und das als typisch für die Kategorie fast immer dasselbe gewählt wurde. Von 113 Testpersonen wählten 113 das Auto als den typischen Vertreter der Kategorie Fahrzeug.

Wie ist nun dieser Test zu bewerten? Ein Ergebnis zeigt, dass es keine scharf abgegrenzten Kategorien gibt. Kategorien, in denen Menschen denken, sind unscharf. Das zweite Ergebnis zeigt, dass es so etwas wie einen Prototypen der jeweiligen Kategorie gibt und sich die Zuordnung zu einer Kategorie auf den Grad des Prototyp-seins bezieht. Um zu einer Kategorie zu gehören, bedarf es ein Mindestmaß an Merkmalen. Um als typisch zu gelten, gehören noch andere Merkmale dazu, wobei die Gemeinsamkeit von Eigenschaften ausschlaggebend ist. Je mehr Gemeinsamkeiten ein Objekt einer Kategorie mit allen anderen teilt, desto prototypischer ist es.

Je besser ein solcher Prototyp gewählt ist, desto weniger passt er in eine andere Kategorie. Erst anhand von Prototypen lassen sich Kategorien unterscheiden. Wenig typische Vertreter einer Kategorie lassen sich mehreren Kategorien zuordnen. So ist ein Schwert und ein Gewehr ein prototypischer Vertreter der Kategorie „Waffe“. Dagegen ist ein Schraubendreher sehr untypisch. Letzteren kann man besser in die Kategorie „Werkzeug“ unterbringen.

Noch eine Entdeckung wurde bei diesen Untersuchungen gemacht. Es lassen sich drei vage umrissene Kategorien unterscheiden, die in ihrem Abstraktionsgrad different sind. Die erste und abstrakteste kennzeichnet sich dadurch, das wir uns zu ihr kein konkretes Bild machen können. z.B. Elektroartikel. Konkretisiert wird sie in grundlegende Kategorien z.B. Unterhaltungselektronik, Küchengeräte etc. Zu diesen Grundkategorien lassen sich schon konkrete Bilder erzeugen, die auch mit vielen anderen Menschen übereinstimmen. Die Grundkategorien lassen sich weiter unterteilen in untergeordnete Kategorien z.B. Fernseher, Videorekorder, Staubsauger usw.

Denken in Kategorien hat Vorteile. Es geschieht schnell und effizient. Ein Grund, dass wir bei derartig nebeligen Übergängen von einer Kategorie zur nächsten nicht verwirrt sind, mag daran liegen, dass wir in Prototypen denken.

Nutzen der Fuzzy-Logik

In der Technik und vor allem in Steuerungen wird die Fuzzy-Logik mittlerweile sehr erfolgreich umgesetzt. Auch Spracherkennung und Handschriftenerkennung wären ohne Fuzzy wohl nicht möglich. Mittlerweile gibt es Fuzzy-Chips, die nicht einfach binär, sondern mit unterschiedlichen Stromstärken funktionieren. Fuzzy macht schneller. Überall, wo es darum geht lebensnahe Bereiche zu technisieren, erweist sich die Fuzzy-Logik als ein effektives Werkzeug.

Die Fuzzy-Steuerung

Nun unternehmen wir einen kleinen Ausflug in eine praktische Anwendung der Fuzzy-Logik, der Steuerung. Eine Steuerung hat ganz allgemein den Zweck etwas von einem Soll- zu einem Ist-Zustand zu befördern. Uns interessiert dabei, was eine herkömmliche Steuerung von einer fuzzylogischen Steuerung unterscheidet. Hierzu betrachten wir als Beispiel die Steuerung einer Dampfmaschine, die ein Rad in einer gleichbleibenden Drehung bewegen soll. Eine simple Anordnung, die es aber recht anschaulich macht.

Um eine gleichbleibende Umdrehung zu gewährleisten, muss der Druck den die Maschine aufbaut ebenfalls auf einem gleichbleibenden Niveau sein und somit auch die Temperatur im Kessel.

Wenden wir uns zunächst einer herkömmlichen Steuerung zu. Schematisch sieht das folgendermaßen aus:

Das ist ein sehr simples Modell einer Kontrolle. Ist die Radgeschwindigkeit zu hoch, so wird die Befeuerung des Kessels unterbrochen, ist sie zu niedrig, so wird sie erhöht. Ist die Geschwindigkeit korrekt, so wird nichts verändert.

Das alles sind einfache ja/nein Abfragen. Das Ergebnis ist ein um das gewünschte Ergebnis leicht schwankender Wert, der sich langsam einpendelt.

Wie geht nun Fuzzy-Logik mit einer solchen Steuerung um? Die einfachen ja/nein Abfragen werden unscharf gemacht. Das heißt es ist nicht nur einfach zuviel oder zuwenig sondern soundsoviel zuviel oder sounsoviel zuwenig. Man arbeitet mit gleitenden Skalen. Dadurch vermeidet man, dass die Geschwindigkeit des Rades sich zu weit vom Soll entfernt (signifikant zu schnell bzw. zu langsam wird), sondern es entsteht eine Annäherung an den zu erreichenden Wert, der durch immer kleinere korrigierende Eingriffe schließlich den Sollwert erreicht.

Ein Vorteil einer solchen unscharfen Steuerung ist u.a., dass sie Energie sparen hilft und viel genauer steuert. Ein weiterer Vorteil ist die größere Sicherheit, da Fuzzy-Steuerungen sich in viele kleine Steuereinheiten zergliedern. Ein entstandener Fehler führt dann nicht zum Versagen eines ganzen Systems.

Pro und Kontra – Fuzzy-Logik

Westliches Denken und der Widerstand gegen Fuzzy

Wieso tut sich die westliche Wissenschaft mit der Fuzzy-Logik so schwer? Dafür gibt es mehrere mögliche Gründe. Erstens besitzt die zweiwertige Logik eine 2000 Jahre alte Geschichte. Ihre Grundzüge wurden von Aristoteles festgelegt und seitdem nicht wesentlich verändert. Zweitens ist es praktikabler und einfacher nur mit zwei Werten, wahr und falsch, zu hantieren. Drittens gibt die zweiwertige Logik mehr Sicherheit als die Fuzzy-Logik. Viertens müsste ein beliebter Gegenbeweis, die reductio ad absurdum – der Widerspruchsbeweis – verändert werden. Auch das Gesetz vom Widerspruch und dem ausgeschlossenen Dritten siechen unter der Fuzzy Perspektive dahin.

Östliches Denken und die Akzeptanz von Fuzzy

Das östliche Denken entspringt einer ganz anderen Quelle. Zwar gab es in Indien schon sehr früh zweiwertige Denker, doch spielte die Unschärfe in der Religion eine entscheidende Rolle, im Gegensatz zum Christentum. Insofern traf hier die Fuzzy-Logik auf fruchtbaren Boden.

Einwände gegen Fuzzy-Logik

Einwand 1:
Die Zugehörigkeitsgrade sind subjektiv und die Fuzzy-Logik weist keinen Weg sie zu objektivieren.

Das ist falsch. Die Wahl einer Beobachterperspektive mag von subjektiven Kriterien geleitet sein, doch ist sie kommunizierbar und damit auch von anderen Menschen nachzuvollziehen. Auf den Einwand, dass es mit der Fuzzy-Logik keine wahre, objektive Perspektive gibt, kann mit dem Kriterium der Funktionalität geantwortet werden: Alles was funktioniert ist wahr oder: Erfolg ist der Beweis.

Einwand 2:
Mit Fuzzy-Logik lassen sich keine Probleme lösen.

Die Praxis beweist das Gegenteil.

Einwand 3:
Die Unschärfe lässt sich auflösen je genauer wir hinschauen, denn dann finden wir immer weitere Differenzen.

Dies ist kein Einwand gegen Fuzzy-Logik, sondern es beschreibt die Erweiterung der Wahrnehmungs- und Differenzierungsfähigkeit des Menschen. Diese wurde aber nie von Fuzzy angezweifelt.

Einwand 4:
Die Ergebnisse von Fuzzy-Logik lassen sich nicht überprüfen, da es keine Regeln dafür gibt was man als Anfangs und Endpunkt, also 0 und 1 setzt.

Siehe Entgegnung zu Einwand 1.

Wie könnte Fuzzy-Logik unser Denken verändern?

Nachdenkenswertes

Nun haben wir sehr viel über Fuzzy gelesen und uns im Rahmen der Mathematik und der Technik bewegt. Aber hat die Fuzzy-Logik auch für uns eine praktische Relevanz? Was bedeutet die Fuzzy-Logik für die Philosophie? Wie wirken sich unscharfe Kategorien auf die Frage nach Referenzen aus? Was bedeuten unscharfe Kategorien z. B. für den Begriff der Kreativität?

Alles sehr interessante Fragen. Auf einige Denkansätze möchte ich eingehen.

Philosophie – Beispiel: Kuhlman’sche Letztbegründung der Ethik

Die Letztbegründung der Kuhlman’schen Ethik baut u.a. darauf, dass sich der Zweifel nicht bezweifeln lässt, also Selbstwidersprüche nicht zulässig sind. Wie wir aber gesehen haben, gilt der Satz des zu vermeidenden Widerspruchs nur in den Extremen. Dazwischen sind Teilwidersprüche durchaus zulässig.

Gilt dies, so müsste sich die Begründung dahingehend ändern, dass kontradiktorische Widersprüche ausgeschlossen sein müssen. Das könnte wiederum bedeuten, dass wir nicht unbedingt verpflichtet sind jeden Dissens konsensuell zu lösen, sondern nur solche wo Alltagsroutinen nicht ausreichen und einen kontradiktorischen Widerspruch erzeugen. Dissense mit teilweisen Widersprüchen hätten ihre Daseinsberechtigung. Hieraus ließe sich ein formaler Begriff der Toleranz ableiten.

Ethische Bewertungsregeln

Unscharfe Mengen könnten ein hervorragendes Mittel sein, um einen ethischen Bewertungsmaßstab zu entwickeln. Auch würden sich sogenannte Grauzonen mit diesem Modell abbilden lassen. Mit der Hilfe von Prototypen und beispielhaften Zuordnung von verschiedenen Handlungen zu einer der Kategorien: geboten, erlaubt und verboten, kann man eine Zugehörigkeitsskala zu diesen Kategorien von Handlungen erstellen, die dann kombiniert auf einer Skala mit sich überlagernden, unscharfen Blöcken eine genauere Einschätzung bei Verfahren zuließe.

Referenzen

Auch für die Bildung von Referenzen hätte das Modell mit den drei aufeinander aufbauenden Kategorien Konsequenzen. Einerseits würde der Begriff der Ostensiv-Referenz auf bestimmte Begriffe, die maximal Grundkategorien sind, eingeschränkt werden und nur die Nominalreferenz wäre für alle drei zugänglich. Es ist auch denkbar, dass zu jeder Referenz die dazugehörige Kategorie mit angegeben wird, um so eine größere Genauigkeit zu erzielen.

Kreativität

Kreativität als Eigenschaft eines ästhetischen Werkes könnte weiter spezifiziert werden durch eine Analyse ob Elemente einer Kategorie auf eine neue übertragen werden.

Tom Nolte

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