Seite 3: Fuzzy-Logik - eine Einführung | Logisch Denken

Theorie der Möglichkeit

Eine Möglichkeit beschreibt den Grad der Mühelosigkeit mit dem ein Ereignis stattfinden könnte. Dies ist nicht zu verwechseln mit Wahrscheinlichkeit. Möglichkeit besagt ob ein Ereignis stattfinden kann, Wahrscheinlichkeit ob es stattfinden wird.

Beispiel: Wieviel gekochte Eier isst Joe zum Frühstück?

Eier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Möglichkeit
1
1
1
1
0,9
0,6
0,5
0,3
0,1
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,8
0
0
0
0
0
0
0

Syllogismen in Fuzzy

Eine Möglichkeit Fuzzy-Logik umzusetzen, besteht darin unscharfe Syllogismen zu entwickeln.

Beispiel:

Prämisse 1 (p1) Die meisten Schüler lerne gerne.

Prämisse 2 (p2) Sven ist ein Schüler.

Konklusion (k) Wahrscheinlich lernt Sven gerne.

Unscharfe Maßtheorie

Die unscharfe Maßtheorie berechnet inwieweit die Evidenz eine Tatsache beweist. Im Unterschied zur Wahrscheinlichkeitstheorie addieren sich die verteilten Werte nicht zu eins auf.

Beispiel: Nehmen wir an, jemand kennt Petra nicht genau. Nun soll die Person anhand von unzureichenden Infos herausfinden welches ihr Lieblingsessen ist. Hierzu mag die Person einige Daten wie tomatig, nudelig und käsig haben. Sie kann dabei z.B. auf die Gerichte Pizza, Lasagne, Gnocci oder Spaghetti kommen. Den Gerichten lässt sich dann ein unscharfes Maß zuordnen. Pizza 0,2, Lasagne 0,35, Spaghetti 0,6 und Gnocci 0,8. Damit ist dann zum Ausdruck gebracht, inwieweit die Evidenzen für eines dieser Gerichte sprechen.

Arten der Unschärfe

Es sei noch erwähnt, das es mindestens vier grundlegende Arten von Unschärfe gibt:

  • Nicht-Spezifität,
  • Unschärfe,
  • Dissonanz
  • Verwirrung.

Nicht-Spezifität beschreibt eine Mehrdeutigkeit in der Beziehung zwischen einer Aussage und den möglichen Bedeutungen. Es fehlen Informationen "Alles easy!"

Hiermit befasst sich die scharfe Mengentheorie, die Theorie der Möglichkeiten und die Unschärfetheorie.

Unschärfe bezieht sich auf den Grad der Zugehörigkeit von etwas zu etwas anderem. "Wie vogelhaft ist ein Schnabeltier?"

Dies wird von der Unschärfetheorie behandelt.

Dissonanz bezieht sich darauf, dass aus genügend Informationen sich ausschließende Schlüsse gezogen werden können. Eine Katze miaut. Sie miaut immer wenn sie Futter haben will oder gestreichelt werden möchte. Dummerweise miaut sie immer in der gleichen Weise.

Dies ist ein Fall für die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Verwirrung geht über die Dissonanz hinaus. Es ist nicht nur nicht klar welcher Schluss der richtige ist, sondern auch die Evidenzen für den Schluss sind unklar. ("Habe ich mir das Miauen nur eingebildet? War es vielleicht die Nachbarkatze?")

Dies wird auch von der Theorie der Möglichkeiten erfasst.

Teilmengenrelation

Kosko lenkte die Aufmerksamkeit von der Frage, inwiefern ein Element zu welchem Grad einer Menge zugehörig ist, zu der wichtigen Frage, inwiefern eine Menge zu einer anderen Menge gehört. Demnach lassen sich die Elemente einer Menge auch als unscharfe Teilmenge auffassen. Hat man diesen Schritt getan, so lässt sich per Prozentrechnung ausrechnen wieweit eine Menge Teil einer anderen Menge ist.

Beispiel:

  Tom Pet Harry Uwe Sven Brini Zusammen
Programmierer 0,4 0,6 0,3 0,0 0,9 0,5 2,7
Spielefreaks 0,6 0,4 0,7 0,2 0,6 0,7 3,2
Beides 0,4 0,4 0,3 0,0 0,6 0,5 2,2

Inwieweit sind nun die programmierenden Spielfreaks Teilmenge der Programmierer? Zu 0,82 sind sie Teilmenge der Programmierer!

Auf diese Weise lässt sich auch beweisen, dass sich die Wahrscheinlichkeitstheorie aus der Unschärfetheorie ergibt und sie somit lediglich einen Spezialfall von Unschärfe darstellt.

Darstellung einer Teilmengenrelation

Hier lässt sich ein Gebilde heranziehen, das unter dem Namen Hyperkubus bekannt ist. Ein Hyperkubus weist nicht wie ein normaler Kubus 3 Dimensionen auf, sondern ist n - dimensional. Will man Teilmengen von Mengen in diesem Kubus plazieren so wird für jede der Ursprungsmengen eine Dimension hinzugefügt. Die angenommenen Teilmengen werden dann mit einem Punkt innerhalb des Hyperkubus abgebildet. Die Extrempunkte der Skalen geben die leere Menge (0) und die vollständig erfüllte Menge (1) wieder. Siehe hierzu die Grafik. Daran lässt sich auch sehr schnell sehen, ob etwas eine Teilmenge ist oder nicht. Das gleiche gilt für Schnitt- und Vereinigungsmengen.

Mit Hilfe des Hyperkubus lässt sich so jede beliebige Menge als ein Punkt darstellen. Hier sei noch angemerkt, dass sich auch die Informationstheorie von Shanon mit dem Hyperkubus abbilden lässt. Die größte Menge an Information würde sich dabei genau am Mittelpunkt des Kubus befinden.

Wahrscheinlichkeit

Hier möchte ich noch ein Wort über die Wahrscheinlichkeitstheorie verlieren, genauer: über die zwei Schulen der Wahrscheinlichkeitstheorie:

  • die objektive Wahrscheinlichkeitstheorie und
  • die bayesianische Wahrscheinlichkeitstheorie.

Diese beiden Schulen unterscheiden sich grundlegend voneinander. Die objektive Wahrscheinlichkeit geht von der Ursache auf die Wirkung. Man wirft einen Würfel (Ursache) und es besteht die Wahrscheinlichkeit von 1:6 dass eine zwei kommt (Wirkung).

Die Bayesianische Schule schlussfolgert von der Wirkung auf die Ursache. Alle sechs Zahlen kamen gleichmäßig verteilt, folglich befindet sich auf jeder Seite des Würfels eine andere Zahl. Sie gehen sogar soweit zu sagen, dass man vor dem ersten Wurf, wenn noch nichts von der Verteilung der Zahlen bekannt ist, von einer Gleichverteilung ausgehen müsse. Sie lassen im Unterschied zu den Objektivisten auch subjektive Schätzungen zu. Durch diesen Subjektivismus gehen sie allerdings auf die Erwartungshaltung von jemanden ein. Sie gehen noch weiter: Wahrscheinlichkeit als subjektives Phänomen aufzufassen.

15.10.2018 © seit 08.2005 Tom Nolte
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