Seite 2: Fuzzy-Logik - eine Einführung | Logisch Denken

Verschiedene Logik-Systeme

Wie oben schon erwähnt, unterscheidet sich Fuzzy-Logik von der althergebrachten zweiwertigen Logik enorm. Wie kam man nun von einer zweiwertigen Logik die nur zwischen 0 (Wahr) und 1 (Falsch) unterscheidet zu einer Logik mit abgestuften Wahrheitswerten, zwischen 0 und 1 ?

Die Idee dazu wurde von Peirce dargelegt, denn alles was es gibt existiert in einem Kontinuum. Yukasiewics veröffentlichte dann 1920 einen Artikel, wo er eine dreiwertige Logik vorstellte. War diese Bresche einmal geschlagen, so stand damit einer Logik mit prinzipiell unendlich vielen Wahrheitswerten nichts mehr im Wege.

In der zweiwertigen Logik wird ein Gegensatzpaar durch die Operation der Negation gebildet: Eine Aussage ist dann wahr, wenn die Negation falsch ist und umgekehrt.

Aussage
Negation
1
0
0
1

Yukasiewics ergänzte diese Tabelle um einen dritten Wert den er mit möglich übersetzte. Dieser Wert entspricht dann einem Teilwiderspruch. Eine halbvolle Flasche ist eben auch halb leer.

Aussage
Negation
1
0
½
½
0
1

Damit stand einer vielwertigen Logik Tür und Tor offen, denn diese beiden Logiken haben immer noch einen entscheidenden Nachteil. Sie stellen nur Fragmente der Wirklichkeit dar. Eine gleitende Skala wie in der Fuzzy-Logik bringt hier größere Präzision.

Beispiel: Wer gehört zu großen Schülern der Klasse 10a? Jemand der eine zweiwertige oder dreiwertige Logik vertritt, würde erst einmal "groß" definieren z.B. als 182 cm. Anschließend könnte er sagen, alles was darüber liegt ist groß, alles darunter klein. Der Dreiwertler würde ergänzen: und was genau auf diesem Punkt liegt ist beides. Wie geht nun jemand mit einer Fuzzy-Logik an diese Aufgabe? Er würde einen Bezugsrahmen setzen. z.B. 1 entspricht dem längsten Schüler und 0 dem kleinsten Schüler. Für die Antworten im Vergleich siehe Tabelle.

Person

zweiwertige L.
dreiwertige L.
unscharfe L.

Alex 196cm

1
1
1

Tommy 182cm

1
½
0,9

Jörg 175cm

0
0
0,8

Knut 178cm

0
0
0,85

Toni 162cm

0
0
0,7

Wie sähe eine Negation dieser Tabelle aus?

Person

zweiwertige L.
dreiwertige L.
unscharfe L.

Alex 196cm

0
0
0

Tommy 182cm

0
½
0,1

Jörg 175cm

1
1
0,2

Knut 178cm

1
1
0,15

Toni 162cm

1
1
0,3

Hier sei noch darauf hingewiesen, dass es auch Mathematiker gab die versuchten den Gedanken einer zweiwertigen Logik mit einem Kontinuum so in Übereinstimmung zu bringen, dass sie diskrete Kontinuums annahmen. D.h. ein Kontinuum soll demnach aus feinsten Abstufungen bestehen, die so klein sein können, dass sie nicht auffallen und deshalb als kontinuierliche Übergänge erscheinen. Diesen Gedanken können wir aber verwerfen, da dies eigentlich nur eine Fürsprache für ein genaueres Beobachten ist, aber kein Einwand gegen ein Kontinuum.

Mengen in der Fuzzy-Logik

"Eine wissenschaftliche Wahrheit triumphiert nicht, weil sie ihre Gegner überzeugt und sie Licht sehen lässt, sondern eher deshalb, weil ihre Gegner schließlich aussterben und eine Generation heranwächst die mit ihr vertraut wird." (Max Planck)

Zusammenführung der bisherigen Ideen

In den ersten Kapiteln habe ich ein paar grundlegende Überlegungen zu Fuzzy-Logik dargestellt. Nun können wir die Idee der Mengenlehre und die Idee einer Logik mit gleitenden Wahrheitswerten zusammenführen. Wir kommen so zur eigentlichen Fuzzy-Logik, die eine Theorie der unscharfen Mengen ist. Ein Schlüsselbegriff ist die abgestufte Zugehörigkeit. Er besagt, dass Elemente einer Menge teilweise an dieser Menge partizipieren und teilweise nicht. Knut gehört also mit 0,8 zu der Menge der großen Schüler und zu 0,2 gehört er zu der Menge der nicht großen Schüler. Logisch lässt sich hier auch von Teilwidersprüchen sprechen.

Praktisch wirkt sich dies auf Mengen folgendermaßen aus:

Leere Menge => Eine unscharfe Menge ist dann leer, wenn alle denkbaren Elemente für diese Menge den Zugehörigkeitsgrad 0 haben.

Beispiel: Die Menge der auf den Kopf durch die Schule hüpfenden Schüler ist eine leere Menge.

Komplementärmenge => Ist die Negation der Elemente und ihrer Zugehörigkeitsgrade die zur Menge gehören.

Beispiel: Knut gehört zu 0,8 zur Menge der großen Schüler und zu 0,2 zur Menge der kleinen Schüler.

Teilmenge => Jedes Element muss der Teilmenge in einem niedrigeren Grad angehören als der größeren Menge.

Beispiel:

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni

Große Schüler

1
0,9
0,8
0,85
0,7

sehr große Schüler

1
0,8
0,7
0,75
0,6

Schnittmenge => Bei einer Schnittmenge von zwei unscharfen Mengen wird dem Element der niedrigere Zugehörigkeitsgrad zugewiesen.

Beispiel:

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni

Große Schüler

1
0,9
0,8
0,85
0,7

Schüler die Currywurst mögen

0,8
1
0,3
0,5
0,9

Schnittmenge

0,8
0,9
0,3
0,5
0,7

Bei den Schnittmengen kann es zu einem Problem kommen, wenn man nicht gut aufpasst und die Perspektive bewahrt. Der Trugschluss dem man unterliegen kann nennt sich Verbindungstrugschluss. Wir nehmen z.B. eine Tomate und schneiden sie in Scheiben. Nun lässt sich eine Schnittmenge von scheibenförmigen Dingen und Tomaten bilden, um eine Tomatenscheibe auszudrücken. Für beide Mengen ist dies aber ein sehr untypischer Vertreter obwohl es für Tomatenscheiben ein absolut typischer Vertreter ist und somit einen viel höheren Zuordnungswert verdient hätte als der Durchschnitt ergibt. Denkt man so, so ist man dem Verbindungstrugschluss aufgesessen, denn man hat die Perspektive verschoben und betrachtet sozusagen eingeengt - Tomatenscheiben als unscharfe Menge.

Vereinigungsmenge => Bei einer Vereinigungsmenge von zwei unscharfen Mengen wird dem Element der höhere Zugehörigkeitsgrad zugewiesen.

 
Alex
Tommy
Jörg
Knut
Toni
Große Schüler
1
0,9
0,8
0,85
0,7
Schüler die Currywurst mögen
0,8
1
0,3
0,5
0,9
Vereinigungs-menge
1
1
0,8
0,85
0,9

Als Ergänzung sei hier noch erwähnt, dass Fuzzy-Logik drei ungewöhnliche Merkmale aufweist:

  • Erstens sind die unscharfen Wahrheitswerte Wörter und nicht Zahlen,
  • zweitens sind unscharfe Wahrheitstafeln ungenau und
  • drittens sind die logischen Schlussregeln Annäherungen und nicht exakt.

Eingrenzung für unscharfe Mengen

Eingrenzungen sind Begriffe, die unscharfe Mengen modifizieren. Diese gibt es in verschiedenen Formen:

Allgemeine Modifikatoren sehr
ziemlich
äußerst
mehr oder minder
usw. ...
Modifikatoren der Wahrheitswerte ziemlich wahr
größtenteils falsch
usw. ...
Modifikatoren der Wahrscheinlichkeit wahrscheinlich
nicht sehr wahrscheinlich
unwahrscheinlich
usw. ...
Quantifikatoren die meisten
wenige
einige
usw....
Möglichkeiten durchaus möglich
fast unmöglich
usw. ...

Mit diesen Eingrenzungen können Operationen vollzogen werden und sie dienen dazu Kontinua in unscharfe Blöcke zu zerlegen die sich überlappen.

Beispiel: Eine Skala, auf der die Körperkraft von Personen abgebildet wird, mit den Unterteilungen: kraftlos, schwach, durchschnittlich, halbstark. Graphisch dargestellt sieht das aus wie sich überlagernde Glocken.

Zadeh entwickelte auch ein Äquivalent zum zweiwertigen Aussagenkalkül. Dieses besteht in einer unscharfen, formalen Sprache mit der Bezeichnung PRUF.

15.10.2018 © seit 08.2005 Tom Nolte
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